Mini-ats102.ru

ООО “Мультилайн”
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Отрицательная степень

Отрицательная степень

Жаропонижающие средства для детей назначаются педиатром. Но бывают ситуации неотложной помощи при лихорадке, когда ребенку нужно дать лекарство немедленно. Тогда родители берут на себя ответственность и применяют жаропонижающие препараты. Что разрешено давать детям грудного возраста? Чем можно сбить температуру у детей постарше? Какие лекарства самые безопасные?

Со школы всем нам известно правило о возведении в степень: любое число с показателем N равно результату перемножения данного числа на самого себя N-ное количество раз. Иными словами, 7 в степени 3 — это 7, умноженное на себя три раза, то есть 343. Еще одно правило — возведение любой величины в степень 0 дает единицу, а возведение отрицательной величины представляет собой результат обычного возведения в степень, если она четная, и такой же результат со знаком «минус», если она нечетная.

Правила же дают и ответ, как возводить число в отрицательную степень. Для этого нужно возвести обычным способом нужную величину на модуль показателя, а потом единицу поделить на результат.

Из этих правил становится понятно, что выполнение реальных задач с оперированием большими величинами потребует наличия технических средств. Вручную получится перемножить на самого себя максимум диапазон чисел до двадцати-тридцати, и то не более трех-четырех раз. Это не говоря уж о том, чтобы потом еще и единицу разделить на результат. Поэтому тем, у кого нет под рукой специального инженерного калькулятора, мы расскажем, как возвести число в отрицательную степень в Excel.

Степени. Свойства степеней.

Ключевые слова конспекта: степень с натуральным показателем, основание степени, показатель степени, возведение в степень, дисперсия, умножение и деление степеней, свойства степеней.

Произведение 7 • 7 • 7 • 7 • 7 записывают короче: 7 5 . Выражение вида 7 5 называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пятой степени»). В записи 7 5 число 7, которое означает повторяющийся множитель, называют основанием степени, а число 5, показывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют показателем степени.

Умножим 7 5 на 7 3 :
7 5 • 7 3 = (7 • 7 • 7 • 7 • 7) • (7 • 7 • 7) = 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 = 7 8 .
Показатель степени увеличился на 3. Естественно считать, что 7 = 7 1 . Вообще считают, что первой степенью числа является само число. Например, 18 1 = 18; 104 1 = 104.

Степень с натуральным показателем

✅ Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называют выражение а n , равное произведению n множителей, каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а 1 , равное а.

По определению

Запись а n читается так: «а в степени n» или «n-я (энная) степень числа а». Для второй и третьей степеней числа используют специальные названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью степень — кубом.

Возведение в степень

Нахождение n-й степени числа а называют возведением в n-ю степень.

Читайте так же:
Запрет на изменение ячеек excel

Пример 1. Возведём число –3 в четвёртую и пятую степени:
(–3) 4 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = 81;
(–3) 5 = (-3) • (-3) • (-3) • (-3) • (-3) = –243.

Из свойств умножения следует, что:

  • при возведении нуля в любую степень получается нуль;
  • при возведении положительного числа в любую степень получается положительное число;
  • при возведении отрицательного числа в степень с чётным показателем получается положительное число, а при возведении отрицательного числа в степень с нечётным показателем — отрицательное число.

Пример 2. Возведём число 6,1 в седьмую степень, воспользовавшись калькулятором. Для этого надо выполнить умножение:
6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1 • 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень проще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для того чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести число 6,1, нажать клавишу УМНОЖИТЬ и шесть раз нажать клавишу РАВНО . Получим, что 6,1 7 = 314274,28.

При вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобки, принят следующий порядок действий: сначала выполняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее сложение и вычитание.

Пример 3. Найдём значение выражения –6 2 + 64 : (–2) 5 . Последовательно находим:
1) 6 2 = 36;
2) (–2) 5 = –32;
3) 64 : (–32) = –2;
4) –36 + (–2) = –38.

Пример 4. Найдём множество значений выражения 5 • (–1) n + 1 + 2, где n N.
Если n — нечётное число, то (-1) n + 1 = 1; тогда 5 • (-1) n + 1 + 2 = 5 • 1 + 2 = 7.
Если n — чётное число, то (-1) n + 1 = -1; тогда 5 • (-1) n + 1 + 2 = 5 • (-1) + 2 = -5 + 2 = -3.
Множество значений данного выражения: <-3; 7>.

В рассмотренном примере было указано, что n N. Условимся в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если показатель степени содержит переменную, то значениями этой переменной являются натуральные числа.

Дисперсия

Степень с натуральным показателем широко используется в естествознании для вычисления различных характеристик. Например, в статистике, для того чтобы узнать, как числа некоторой выборки расположены по отношению к среднему арифметическому этой выборки, используют отклонения, их квадраты и среднее арифметическое квадратов отклонений — дисперсию.

Пример 5. Дана выборка: 4, 6, 7, 8, 10. Среднее арифметическое этой выборки равно 7. Тогда отклонения вариант данной выборки от среднего арифметического равны: 4 – 7 = –3, 6 – 7 = –1, 7 – 7 = 0,8 – 7 = 1, 10 – 7 = 3, т. е. мы получили ещё один набор чисел — отклонения каждой варианты выборки от среднего арифметического. По новой выборке (–3; –1; 0; 1; 3) можно судить о том, насколько близки к среднему арифметическому числа исходного набора. Но поскольку сумма отклонений равна нулю, то и среднее арифметическое этой новой выборки также равно нулю. Поэтому для дальнейших исследований исходного набора находят квадраты отклонений и их среднее арифметическое

Полученное число и есть дисперсия исходной выборки.

Читайте так же:
Можно ли использовать подсолнечное масло для смазки

Умножение степеней

Представим произведение степеней а 5 и а 2 в виде степени:
а 5 • а 2 = (а • а • а • а • а) • (а • а) = а • а • а • а • а • а • а = а 7 .
Мы получили степень с тем, же основанием и показателем, равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство выполняется для произведения любых двух степеней с одинаковыми основаниями.

Если а — произвольное число, m и n — любые натуральные числа, то а m • а n = а m+ n

Докажем это. Из определения степени и свойств умножения следует, что

Доказанное свойство называется основным свойством степени. Оно распространяется на произведение трёх и более степеней. Это нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.

Из основного свойства степени следует правило:

  • чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а показатели степеней сложить.

Деление степеней

Представим теперь в виде степени частное степеней а 8 и а 3 , где а ≠ 0. Так как а 3 • а 5 = а 8 , то по определению частного а 8 : а 3 = а 5 .

Мы получили степень с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя. Такое свойство выполняется для частного любых степеней с одинаковыми основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимого больше показателя делителя.

Если а — произвольное число, не равное нулю, m и n — любые натуральные числа, причём m > n, то а m : а n = а m — n , где а ≠ 0, m ≥ n

Докажем это. Умножим а m — n на а n , используя основное свойство степени:
a m – n • a n = a (m – n) + n = a m – n + n = a m

Из доказанного свойства следует правило:

  • чтобы выполнить деление степеней с одинаковыми основаниями, надо основание оставить тем же, а из показателя делимого вычесть показатель делителя.

Степень с нулевым показателем

Мы рассматривали степени с натуральными показателями. Введём теперь понятие степени с нулевым показателем.

✅ Определение. Степенью числа а, где а ≠ 0, с нулевым показателем называется выражение а 0 , равное 1 .

Например, 5 0 = 1; (–6,3) 0 = 1. Выражение 0 0 не имеет смысла.

Степени. Свойства степеней

Это конспект по математике на тему «Степени. Свойства степеней». Выберите дальнейшие действия:

Алгебра 7-9 классы. 3. Степень с натуральным показателем. Свойства степени

СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ

Произведение нескольких одинаковых множителей можно записать в виде степени. Например,

Выражение 5 7 читают по-разному: «Пять в седьмой степени», «Седьмая степень числа пять», «Степень числа пять с показателем семь».

Определение. Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.

Читайте так же:
Можно ли в кино со своим пивом

Степень числа а с показателем n обозначают так: а n . Выражение а n называют степенью, число а — основанием степени, число n — показателем степени.

По определению степени:

Нахождение значения степени называют возведением в степень. Приведем примеры возведения в степень:

Степень отрицательного числа с четным показателем есть число положительное, так как произведение четного числа отрицательных множителей положительно. Степень отрицательного числа с нечетным показателем есть число отрицательное, так как произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.

Квадрат любого числа есть число положительное или нуль, т. е. при любом а.

Вычислим значения нескольких выражений, содержащих степени.

Пример 1. Найдем значение выражения

УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНЕЙ

Выражение а 2 а 3 представляет собой произведение двух степеней с одинаковыми основаниями. Это произведение можно записать в виде степени с тем же основанием:

Мы видим, что произведение а 2 а 3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей перемножаемых степеней.

Докажем, что для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n

Отсюда следует правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают.

Мы видим, что частное а 7 :а 3 равно степени с тем же основанием и показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Докажем, что для любого числа

Итак, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И СТЕПЕНИ

Выражение является степенью произведения множителей а и b. Это выражение можно представить в виде произведения степеней а и b:

Заменим сумму произведением mn.

Из равенства и , имеют место и для степеней с нулевым показателем (если основания отличны от нуля).

Степень в текстовом редакторе Word

Если вы работаете в текстовом редакторе Word и вам нужно написать степень числа, то проще всего воспользоваться специальной кнопкой, которая называется « Надстрочный знак ». В современных версиях Word (например, в Word 2007, 2010, 2013 и 2016) такая кнопка находится на вкладке « Главная ». Выделите знак, который должен стать степенью числа и нажмите на эту кнопку.

кнопка Надстрочный знак

В результате вы получите число и степень. Нужно отметить, что в качестве степени можно использовать не только числа, но и буквы.

число и степень

Если вы пользуетесь старыми версиями текстового редактора Word, например, Word 2003, то для того чтобы сделать степень необходимо выделить число, кликнуть по нему правой кнопкой мышки и выбрать « Шрифт ».

Шрифт

В результате появится окно « Шрифт ». Здесь нужно включить надстрочный шрифт и сохранить настройки нажатием на кнопку « Ok ».

Читайте так же:
Как в фотошопе перевести текст в кривые

надстрочный шрифт

Таким образом выделенное число превратится в степень.

Константы в Паскале

Зачастую в программе заранее известно, что переменная будет принимать какое-то конкретное значение и не менять его на протяжении выполнения всей программы. В таком случае необходимо использовать константу.

Объявление константы в Паскале происходит до объявления переменных (до служебного слова var ) и выглядит следующим образом:

Пример описания константы в Паскале:

const x=17; var myname:string; begin myname:=’Петр’; writeln (‘имя: ‘,myname, ‘, возраст: ‘, х) end.

const x = 17; begin var myname := ‘Петр’; print(
имя: , возраст: ‘) end.

«Красивый» вывод целых и вещественных чисел

Для того чтобы после вывода значений переменных оставались отступы, чтобы значения не «сливались» друг с другом, принято через двоеточие указывать какое количество символов нужно предусмотреть для вывода значения:

Вывод целых чисел

Вывод целых чисел

Вывод вещественных чисел

Вывод вещественных чисел

[/H1toH2]

Формула возведения в степень в Excel

Примеры использования функции СТЕПЕНЬ().

С использованием мастера функций:

  1. Запускаем мастера функций с помощью комбинации горячих клавиш SHIFT+F3 или жмем на кнопку в начале строки формул «fx» (вставить функцию). Из выпадающего списка «Категория» выбираем «Математические», а в нижнем поле указываем на нужную нам функцию и жмем ОК. Мастер.
  2. В появившимся диалоговом окне заполняем поля аргументами. К примеру, нам нужно возвести число «2» в степень «3». Тогда в первое поле вводим «2», а во второе — «3». Аргументы.
  3. Нажимаем кнопку «ОК» и получаем в ячейке, в которую вводили формулу, необходимое нам значение. Для данной ситуации это «2» в «кубе», т.е. 2*2*2 = 8. Программа подсчитала все верно и выдала вам результат.

Если лишние клики вы считаете сомнительным удовольствием, предлагаем еще один простой вариант.

Ввод функции вручную:

  1. В строке формул ставим знак «=» и начинаем вводить название функции. Обычно достаточно написать «сте» — и система сама догадается предложить вам полезную опцию. Подсказка.
  2. Как только увидели такую подсказку, сразу жмите на клавишу «Tab». Или можете продолжить писать, вручную вводить каждую букву. Потом в скобках укажите необходимые параметры: два числа через точку с запятой. Вручную.
  3. После этого нажимаете на «Enter» — и в ячейке появляется высчитанное значение 8.

Последовательность действий проста, а результат пользователь получает достаточно быстро. В аргументах вместо чисел могут быть указаны ссылки на ячейки.

Контекст

Как получается, что при умножении ноля самого на себя получается что-то большее самого ноля?

Если мы в реальной жизни (а не в математике) съели все яблоки и их у нас 0, то сколько бы мы не умножали отсутствующие яблоки на такие же «нулевые» фрукты, как может у нас возникнуть целое яблоко? Если вам кажется такой вопрос простым, так и есть. С одной точки зрения это странное выражение будет равняться единице, а вот с другой оно будет «не определено». То есть никакой единицы а результате умножения ноля на ноль и быть не может, да?

Читайте так же:
Как в ворде писать боком в таблице

Математика говорит, что:

3 2 ×3 2 это тоже самое, что и 3 2+2 = 3 4 = 3 × 3 × 3 × 3= 81

4 5 ÷4 3 это тоже самое, что и 4 5–3 = 4 2 = 4 × 4 = 16

Тогда, если степени одинаковы:

3 2 ÷3 2 это тоже самое, что и 3 2-2 = 3 0 = Ой?!

Но ведь мы можем и не вычитать степени, а просто сделать две операции отдельно:

3 2 ÷3 2 это тоже самое, что и 3 2-2 = 3 0 , но 3 2 =9, тогда 3 2 ÷3 2 = 3 2-2 или 3 2 ÷3 2 =9÷9=1

А что будет если одно число поделить на самого себя? Единица!

Матанализ

С точки зрения математического анализа, все одновременно и сложно, и совсем просто. Ноль в степени ноль = неопределенность. Что, согласитесь, более логично. Ведь если у нас нет ничего и мы ничего умножим само на себя, не может же возникнуть что-то из этой пустоты?

Теория множеств

Давайте посмотрим с точки зрения теории множеств. Допустим у нас есть два множества.

Первое множество, это количество символов пароля, которым закрыт доступ к вашей страничке в соцсети, или, еще лучше, PIN код банковской карты допустим — 4 символа.

Второе множество, это количество значений, корыте может принимать каждый символ. Предположим, что это только цифры, значит цифр — 10.

Вопрос, сколько вариантов комбинаций существует? Сколько раз нужно ввести случайную комбинацию, чтобы гадать пароль? Каждый символ

10 4 =10 000 тысяч вариантов.

Можно сказать, что множество цифр (10) отображается на множестве возможных символов (4). Но есть и «пустые» множества. Например, вы не поставили пароль вовсе, у вас ноль символов, так сколько попыток понадобится, чтобы получить доступ к счету? Ровно одна.

То есть при 10 0 =1, но тоже самое случится, если пароля нет и значений тоже нет 0 0 =1. Простыми словами, ноль в степени ноль, означает, что пароль не установлен и каждое значение тоже 0. Тогда может существовать только одна такая «комбинация».

А на самом деле?

Практического применения это математическое выражение, как нетрудно догадаться, не имеет вовсе. Ни одном инженеру, ни одному экономисту не придет в голову умножать ноль на ноль ноль раз. Это просто не применимая конструкция. Так что вопрос остается в области математики, и может быть философии.

Это наверное единственный случай, когда оставаясь математиком можно для свободно для себя решать чему равно «0 в степени 0».

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector