Mini-ats102.ru

ООО “Мультилайн”
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод Крамера — правило и примеры решения систем линейных уравнений

Метод Крамера — правило и примеры решения систем линейных уравнений

Метод Крамера: способ решения систем линейных уравнений

Широко востребованный метод Крамера активно используется специалистами для решения распространённых алгебраических уравнений (СЛАУ). Итоговая точность полученного результата обусловлена применением определённой математической матрицы, а также некоторыми вспомогательными ограничениями, которые неизбежно накладываются во время доказательства конкретной теоремы.

Набором выражений вида yr 2 x1+ yr 2 x2 +… yr n xn = b r при r =1, 2,…, m принято называть универсальную систему линейных алгебраических уравнений. В этом случае также присутствуют определённые коэффициенты, которые могут принадлежать множеству W -действительных чисел, от неизвестных x 1… xn.

Краткое описание метода Крамера

Чаще всего в роли действенных чисел выступают yr и br. Каждое из представленных значений называется линейным уравнением. Элементарные коэффициенты при неизвестных — это yr, а вот bi — свободные коэффициенты уравнений. Стандартный n -мерный вектор k ° = (k 1°, k 2°,…, k n°) называют решением системы. При правильной подстановке в систему вместо неизвестных элементов каждая из строчек становится верным равенством.

Если у системы присутствует минимум одно решение, то она называется совместной. Речь касается несовместного примера только в том случае, если многочисленные алгоритмы решения совпадают с пустым множеством. Классическая формула Крамера используется в том случае, если необходимо отыскать верное решение для линейных уравнений. Для получения достоверного результата матрицы должны быть исключительно квадратными. А на практике такой подход означает одинаковое количество уравнений и неизвестных в системе.

2. Пример. (Example)

Системы линейных уравнений с действительными коэффициентами:

Δ = | a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 (на 33) |, Δ 1 = | b 1 a 12 a 13 b 2 a 22 a 23 b 3 a 32 (1 Б 12 а 13 Б 2 а 22 а 23 Б 3 а 32) a 33 (на 33) |, a_<11>&amp,a_<12>&amp,a_<13>\a_<21>&amp,a_<22>&amp,a_<23>\a_<31>&amp,a_<32>&amp,a_<33>\end>, Delta _<1>=b_<1>&amp,a_<12>&amp,a_<13>\b_<2>&amp,a_<22>&amp,a_<23>\b_<3>&amp,a_<32>&amp,a_<33>\end>, > Δ 2 = | a 11 b 1 a 13 a 21 b 2 a 23 a 31 b 3 (в 11 Б 1 а 13 а 21 а 23 а 31 Б 2 Б 3) a 33 (на 33) |, Δ 3 = | a 11 a 12 b 1 a 21 a 22 b 2 a 31 a (а 11 в 12 Б 1 а 21 а 22 б 2 а 31) 32 b 3 (Б 3) | =a_<11>&amp,b_<1>&amp,a_<13>\a_<21>&amp,b_<2>&amp,a_<23>\a_<31>&amp,b_<3>&amp,a_<33>\end>, Delta _<3>=a_<11>&amp,a_<12>&amp,b_<1>\a_<21>&amp,a_<22>&amp,b_<2>\a_<31>&amp,a_<32>&amp,b_<3>\end>>

В определителях столбец цене при соответствующих неизвестных заменяется на столбец свободных членов системы.

Δ = | 2 5 4 1 3 2 10 9 | = 5, Δ 1 = | 30 5 4 150 3 2 110 10 9 | = − 760, 2&amp,5&amp,4\1&amp,3&amp,2\2&amp,10&amp,9\end>=5, Delta _<1>=30&amp,5&amp,4\150&amp,3&amp,2\110&amp,10&amp,9\end>=-760, > Δ 2 = | 2 30 4 1 150 2 110 9 | = 1350, Δ 3 = | 2 5 30 1 3 150 2 110 | = − 1270. =2&amp,30&amp,4\1&amp,150&amp,2\2&amp,110&amp,9\end>=1350, Delta _<3>=2&amp,5&amp,30\1&amp,3&amp,150\2&amp,10&amp,110\end>=-1270.>

Метод Крамера – теорема, примеры решений

Метод Крамера часто применяется для систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Этот способ решения один из самых простых. Как правило, данный метод применяется только для тех систем, где по количеству неизвестных столько же, сколько и уравнений.

Чтобы получилось решить уравнение, главный определитель матрицы не должен равняться нулю. Габриель Крамер – математик, создатель одноименного метода решения систем линейных уравнений

Габриель Крамер – известный математик, который родился 31 июля 1704 года. Ещё в детстве Габриель поражал своими интеллектуальными способностями, особенно в области математики. Когда Крамеру было 20 лет, он устроился в Женевский университет штатным преподавателем.

Во время путешествия по Европе Габриель познакомился с математиком Иоганном Бернулли, который и стал его наставником. Только благодаря Иоганну, Крамер написал много статей по геометрии, истории математики и философии. А в свободное от работы время изучал математику всё больше и больше.

Наконец-то наступил тот день, когда Крамер нашёл способ, при помощи которого можно было бы легко решать не только лёгкие, но и сложные системы линейных уравнений.

Читайте так же:
Дата плюс количество дней excel

В 1740 году у Крамера были опубликованы несколько работ, где доступно изложено решение квадратных матриц и описан алгоритм, как находить обратную матрицу. Далее математик описывал нахождения линейных уравнений разной сложности, где можно применить его формулы.

Поэтому тему так и назвали: «Решение систем линейных уравнений методом Крамера». Учёный умер в возрасте 48 лет (в 1752 году). У него было ещё много планов, но, к сожалению, он так и не успел их осуществить.

Вывод формулы Крамера

Пусть дана система линейных уравнений такого вида:

Решением СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнение) называются такие неизвестные значения при которых все уравнения данной системы преобразовываются в тождества. Если записать систему в матричном виде, тогда получается , где

  • В данной главной матрице находятся элементы, коэффициенты которых при неизвестных переменных,
  • Это матрица-столбец свободных членов, но есть ещё матрица-столбец неизвестных переменных:

После того, когда найдутся неизвестные переменные, матрица и будет решением системы уравнений, а наше равенство преобразовывается в тождество. . Если умножить , тогда . Получается: .

  1. Если матрица – невырожденная, то есть, её определитель не равняется нулю, тогда у СЛАУ есть только одно единственное решение, которое находится при помощи метода Крамера.
  2. Как правило, для решения систем линейных уравнений методом Крамера, нужно обращать внимания на два свойства, на которых и основан данный метод:
  3. 1. Определитель квадратной матрицы равняется сумме произведений элементов любой из строк (столбца) на их алгебраические дополнения:

2. Сумма произведений элементов данной матрицы любой строки или любого столбца на алгебраические дополнения определённых элементов второй строки (столбца) равняется нулю:

где – 1, 2, …, n; – 1, 2, 3, …, n. .

Итак, теперь можно найти первое неизвестное . Для этого необходимо умножить обе части первого уравнения системы на , части со второго уравнения на , обе части третьего уравнения на и т. д. То есть, каждое уравнение одной системы нужно умножать на определённые алгебраические дополнения первого столбца матрицы :

  • Теперь прибавим все левые части уравнения, сгруппируем слагаемые, учитывая неизвестные переменные и приравняем эту же сумму к сумме правых частей системы уравнения:
  • .
  • Можно обратиться к вышеописанным свойствам определителей и тогда получим:
  • И предыдущее равенство уже выглядит так:
  • Откуда и получается .

Аналогично находим . Для этого надо умножить обе части уравнений на алгебраические дополнения, которые находятся во втором столбце матрицы .

  1. Теперь нужно сложить все уравнения системы и сгруппировать слагаемые при неизвестных переменных. Для этого вспомним свойства определителя:
  2. Откуда получается .
  3. Аналогично находятся все остальные неизвестные переменные.
  4. Если обозначить:
  5. тогда получаются формулы, благодаря которым находятся неизвестные переменные методом Крамера:
  6. , , .
  7. Замечание.

Тривиальное решение при может быть только в том случае, если система уравнений является однородной . И действительно, если все свободные члены нулевые, тогда и определители равняются нулю, так как в них содержится столбец с нулевыми элементами. Конечно же, тогда формулы , , дадут

Метод Крамера – теоремы

Прежде чем решать уравнение , необходимо знать:

  1. теорему аннулирования;
  2. теорему замещения.

Теорема замещения

  • Сумма произведений алгебраических дополнений любого столбца (строки) на произвольные числа равняется новому определителю, в котором этими числами заменены соответствующие элементы изначального определителя, что отвечают данным алгебраическим дополнениям.
  • Например,
  • =
  • где – алгебраические дополнения элементов первого столбца изначального определителя:

Теорема аннулирования

  1. Сумма произведений элементов одной строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равняется нулю.
  2. Например:

Алгоритм решения уравнений методом Крамера

  • Важно!
  • Если вы не уверены, что справитесь с работой, обратитесь за помощью к профессионалам. Работу могут написать преподаватели, доцены вузов
  • Стоимость и сроки

Метод Крамера – простой способ решения систем линейных алгебраических уравнений.

Такой вариант применяется исключительно к СЛАУ, у которых совпадает количество уравнений с количеством неизвестных, а определитель отличен от нуля.

Читайте так же:
Гистограмма в excel это

Итак, когда выучили все этапы, можно переходить к самому алгоритму решения уравнений методом Крамера. Запишем его последовательно:

Шаг 1. Вычисляем главный определитель матрицы

и необходимо убедиться, что определитель отличен от нуля (не равен нулю).

Шаг 2. Находим определители

  1. Это и есть определители матриц, которые получались из матрицы при замене столбцов на свободные члены.

Шаг 3. Вычисляем неизвестные переменные

Теперь вспоминаем формулы Крамера, по которым вычисляем корни (неизвестные переменные):

Шаг 4. Выполняем проверку

Выполняем проверку решения при помощи подстановки в исходную СЛАУ. Абсолютно все уравнения в системе должны быть превращены в тождества. Также можно высчитать произведение матриц . Если в итоге получилась матрица, которая равняется , тогда система решена правильно. Если же не равняется , скорей всего в одном из уравнений есть ошибка.

Давайте для начала рассмотрим систему двух линейных уравнений, так как она более простая и поможет понять, как правильно использовать правило Крамера. Если вы поймёте простые и короткие уравнения, тогда сможете решить более сложные системы трёх уравнений с тремя неизвестными.

Кроме всего прочего, есть системы уравнений с двумя переменными, которые решаются исключительно благодаря правилу Крамеру.

Итак, дана система двух линейных уравнений:

Для начала вычисляем главный определитель (определитель системы):

Значит, если , тогда у системы или много решений, или система не имеет решений. В этом случае пользоваться правилом Крамера нет смысла, так как решения не получится и нужно вспоминать метод Гаусса, при помощи которого данный пример решается быстро и легко.

Пройти тест по теме Системы линейных уравнений

Как уже говорилось, если определитель системы равен нулю, а определители при неизвестных не равны нулю, система несовместна, то есть решений не имеет. Проиллюстрируем следующим примером.

Пример 6. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Определитель системы равен нулю, следовательно, система линейных уравнений либо несовместна и определённа, либо несовместна, то есть не имеет решений. Для уточнения вычисляем определители при неизвестных

Определители при неизвестных не равны нулю, следовательно, система несовместна, то есть не имеет решений.

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

В задачах на системы линейных уравнений встречаются и такие, где кроме букв, обозначающих переменные, есть ещё и другие буквы. Эти буквы обозначают некоторое число, чаще всего действительное. На практике к таким уравнениям и системам уравнений приводят задачи на поиск общих свойств каких-либо явлений и предметов. То есть, изобрели вы какой-либо новый материал или устройство, а для описания его свойств, общих независимо от величины или количества экземпляра, нужно решить систему линейных уравнений, где вместо некоторых коэффициентов при переменных — буквы. За примерами далеко ходить не надо.

Пример 7. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Здесь a — некоторое вещественное число. Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

Следующий пример — на аналогичную задачу, только увеличивается количество уравнений, переменных, и букв, обозначающих некоторое действительное число.

Пример 8. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель системы:

Находим определители при неизвестных

По формулам Крамера находим:

И, наконец, система четырёх уравнений с четырьмя неизвестными.

Пример 9. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Внимание! Методы вычисления определителей четвёртого порядка здесь объясняться не будут. За этим — на соответствующий раздел сайта. Но небольшие комментарии будут. Решение. Находим определитель системы:

Небольшой комментарий. В первоначальном определителе из элементов второй строки были вычтены элементы четвёртой строки, из элементов третьей строки — элементы четвёртой строки, умноженной на 2, из элементов четвёртой строки — элементы первой строки, умноженной на 2. Преобразования первоначальных определителей при трёх первых неизвестных произведены по такой же схеме. Находим определители при неизвестных

Читайте так же:
Как включить фильтр в excel

Для преобразований определителя при четвёртом неизвестном из элементов первой строки были вычтены элементы четвёртой строки.

По формулам Крамера находим:

Итак, решение системы — (1; 1; -1; -1).

Для проверки решений систем уравнений 3 Х 3 и 4 Х 4 можно воспользоваться онлайн-калькулятором, решающим методом Крамера.

Самые внимательные, наверное, заметили, что в статье не было примеров решения неопределённых систем линейных уравнений. А всё потому, что методом Крамера решить такие системы невозможно, можно лишь констатировать, что система неопределённа. Решения таких систем даёт метод Гаусса.

Посмотреть презентацию на тему «Решение систем уравнения в EXСEL» для 11 класса в режиме онлайн с анимацией. Содержит 11 слайдов. Самый большой каталог качественных презентаций по информатике в рунете. Если не понравится материал, просто поставьте плохую оценку.

Презентация: Решение систем уравнения в EXСEL

Решение системы уравнений в Excel методом Крамера и обратной матрицы

Слайд 2

Метод Крамера

Ме́тодКра́мера — способ решения систем линейных алгебраических уравнений с числом уравнений равным числу неизвестных с ненулевым главным определителем матрицы коэффициентов системы (причём для таких уравнений решение существует и единственно). Для системы n линейных уравнений с n неизвестными — основная матрица системы.

Слайд 3

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения — определитель системы: Остальные определители получим, заменяя столбец с коэффициентами соответствующей переменной (неизвестного) свободными членами:

Слайд 4

Нахождения неизвестных переменных по методу Крамера

а11X1+a12X2=B1 a21X1+a22X2=b2 X1=

Слайд 5

Метод обратной матрицы

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит следующем . Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем): Тогда её можно переписать в матричной форме: А*X=B,где А- основная матрица системы;B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Слайд 6

Найдём обратную матрицу по формуле: Таким образом, решение системы линейных алгебраических уравнений матричным методом определяется по формуле

Слайд 7

Вычислить значения корней сформированной системы уравнений двумя методами: обратной матрицы и методом Крамера.

Слайд 8

Решение СЛАУ методом Крамера в Excel

Находим матричный определитель: Находим определители Xn, заменяя каждый столбец матрицей B

Слайд 9

Определители Xn порядка делим на матричный определитель и получаем ответ

Слайд 10

Решение СЛАУ методом обратной матрицы

Мышкой выделить квадратную область клеток, где будет размещена обратная матрица. 2. Начать вписывать формулу =МОБР 3. Выделить мышкой матрицу А. При этом правее скобки впишется соответству- ющий диапазон клеток. 4. Закрыть скобку, нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter 5. Должна вычислиться обратная матрица и заполнить предназначенную для неё область

Слайд 11

1.Начать вписывать формулу =МУМНОЖ 2.Выделить мышкой матрицу — первый сомножитель. 3. Выделить мышкой вектор- второй сомножитель. 4.нажать комбинацию клавиш: Ctrl-Shift-Enter5. Вычислиться произведение и заполниться предназначенная для неё область.

Матрица в Excel

Матрица — это массив элементов. Это сформировалось в основном прямоугольной формы. Это было организовано в строках и столбцах. Он используется для отображения размещения двух элементов вдоль двух осей. Вы можете использовать матрицу, чтобы проиллюстрировать девять возможных комбинаций трех элементов. Большинство функций MS Excel, которые вы используете для выполнения матричных операций, являются функциями массива, которые предоставляют несколько значений одновременно. Чтобы создать матрицу в MS Excel, просто введите данные матрицы, как показано на скриншоте ниже. Вышеприведенная матрица представляет собой матрицу (3X3), а ее элементы представляют собой числа от 1 до 9.

Называя Матрицу

Теперь важно дать уникальное имя каждой матрице, которую вы делаете.

Таким образом, мы можем легко выполнить дальнейшие вычисления, указав только имя этой матрицы.

Чтобы дать имя матрице, выберите все элементы матрицы, как показано на рис. 2 и дать ему имя, показанное на рис. 3. Для этого примера мы дали этой матрице имя «АА».

Методы расчета матрицы в Excel

Есть два метода для расчета матриц

  • Метод грубой силы (эталонный метод ячейки)
  • Встроенный метод массива
Читайте так же:
Где искать расширения в хроме

А) Метод грубой силы

Добавление Матриц:

  • Например, мы сделали две матрицы здесь с именами A и B. Для этого с помощью этого метода сделайте сумму как 1- го элемента соответственно, затем выберите столбец и перетащите массив вниз до третьей строки, а затем выберите эти 3 столбца и перетащите его влево до третьего столбца.

  • Теперь вы можете увидеть сложение этих ячеек в новой матрице.

Вычитание в матрицах:

  • Чтобы вычесть матрицу из матрицы, посмотрите на изображение ниже для справки и следуйте инструкциям. Как вы можете видеть в строке формул, вам нужно вычесть A8 из A3, для этого формула стала = A3-A8, в результате вы получите -9, потому что 1-10 = -9. Согласно изображению вы можете увидеть черную точку, вам нужно перетащить 2 шага вправо.

  • Как видно из изображения № 2, вы можете сделать вычитание всех элементов.

Б) Встроенный метод массива

Дополнение в матрицах:

  • Например, мы сделали две матрицы здесь, названные A & B. Для добавления этих обеих матриц мы должны выделить пространство 3X3 в электронной таблице, так как обе матрицы A и B, которые мы добавляем, имеют элементы 3X3.

  • Теперь вам нужно выбрать пространство 3X3 в электронной таблице, просто введите простую формулу сложения = A + B, а затем нажмите Shift + Ctrl + Enter, и вы получите добавление матриц (обратите внимание, что фигурные скобки будут окружать формулу).

Вычитание в матрицах:

  • Аналогично сложению, нам просто нужно изменить формулу для этого вычисления вместо = A + B, мы введем = AB для этого вычисления.

  • После выбора пространства 3X3 в электронной таблице просто введите простую формулу сложения = AB, а затем нажмите Shift + Ctrl + Enter, и вы получите вычитание матриц.

Умножение в матрицах:

  • Теперь этот хитрый, вы не думаете, что это будет то же самое, что сложение и вычитание. Как и во всех примерах здесь, нам также нужны две матрицы для умножения, поэтому давайте создадим две разные матрицы и дадим имена как Matrix G и Matrix J. Обе эти матрицы состоят из элементов 3X3.

  • Теперь для Умножения Матриц нет регулярного вычисления, как это было для сложения и вычитания, для умножения Матриц вам нужно следовать процедуре. Поскольку мы дали Имена нашим Матрицам, теперь для Умножения Матриц нам нужно выбрать пространство 3X3 и применить формулу = MMULT (G, J). После применения вышеуказанной формулы просто нажмите Ctrl + Shift + Enter.

  • Вы увидите, что выбранная область 3X3 показывает Умножение Матрицы G и Матрицы J.

Транспонировать Матрицу:

  • Чтобы научиться транспонировать Матрицу, мы возьмем Матрицу 2X3 элементов. Например, давайте возьмем Матрицу 2X3 и назовем ее «ИИ». Транспонирование Матрицы I приведет к 3X2. Так что выберите пространство 3X2 в вашей электронной таблице. Теперь запишите формулу транспонирования = TRANSPOSE (I) вместо I, мы также можем использовать диапазон матрицы A3 C4. Теперь нажмите Ctrl + Shift + Enter, чтобы найти транспонирование Матрицы I. Математическое представление для транспонирования Матрицы I — это Матрица I

  • Матрица I состоит из 3X2 элементов.

Обратная матрица в Excel

Теперь, чтобы найти обратную матрицу, выполните следующую процедуру:

  • Математическое представление для обратной матрицы E обозначено E -1
  • Сделайте Матрицу E 3X3, например, Инверсией этой матрицы будет Матрица E, и это также приведет к 3X3. Теперь запишите формулу транспонирования = MINVERSE (E) вместо E, мы также можем использовать диапазон матрицы, который равен A10 C12.

  • Теперь нажмите Ctrl + Shift + Enter, вы найдете обратную матрицу E, мы можем назвать ее Matrix E -1

Определитель квадратной матрицы в Excel

  • Это очень полезно, когда речь идет об использовании Excel для матричных уравнений. Это был очень длительный метод поиска определителя матрицы в целом, но в Excel вы можете получить его, просто введя для него формулу.

  • Формула для поиска определителя квадратной матрицы в Excel: = MDETERM (Array). Пространство Array должно быть заполнено либо именем массива, либо диапазоном массива, который определитель мы хотим найти. Как вы все знаете, определитель матрицы не является результатом в матрице, ему просто нужна ячейка для ответа, поэтому нам не нужно выбирать пространство матрицы перед применением формулы. Теперь предположим, что для этого мы создаем Матрицу F и, чтобы найти определитель Матрицы F, формула будет = MDETERM (F).
Читайте так же:
Использование впр в excel пример

  • На изображениях видно, что для нашей заданной матрицы Матрица F равен -1, поэтому в математическом представлении вы можете написать матрицу F = -1.

Рекомендуемые статьи

Это руководство по матрице в Excel. Здесь мы обсуждаем метод расчета, обратный и определитель матрицы, а также примеры и загружаемый шаблон Excel. Вы также можете посмотреть на эти полезные функции в Excel —

Отже, нехай дано систему лінійних рівнянь виду:

Система лінійних рівнянь

де коефіцієнти a11, a12, a13. a1n. annі b1, b2, b3. bnє заданими, а вектор <x1, x2, x3. xn data-lazy-src=

Формули Крамера

де – допоміжні визначники, які одержуються з основного визначника шляхом заміни його i-го стовпця, стовпцем вільних членів системи.

  1. якщо , то система лінійних алгебраїчних рівнянь має єдиний розв’язок, який знаходиться за формулами (2);
  2. якщо , то система (1) має безліч розв’язків (), або вона є несумісною, тобто розв’язків не має ().

Складемо алгоритм розв’язку системи трьох рівнянь з трьома невідомими за методом Крамера:

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

    Для даної системи складаємо та обчислюємо визначник:

Формули Крамера

Зауваження: метод Крамера доцільно використовувати, коли кількість рівнянь та невідомих системи n <= 3. Даний метод можна застосовувати і для великих значень n, але він потребує більшої кількості розрахунків. У випадку, коли n > 3доцільно використовувати метод Гаусса, основна ідея якого полягає у приведенні матриці до трикутної форми.

Метод Крамера – приклади.

Приклад 1: розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

Система лінійних рівнянь з 2-ма невідомими

Отже, на першому кроці, знаходимо визначник системи:

Виходячи з того, що знайдений визначник відмінний від нуля, то задана системи є сумісною, тобто має єдиний розв’язок.

Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Далі, за формулами Крамера знаходимо розв’язок системи:

Зауваження: для перевірки розв’язків систем рівнянь розмірність яких не перевищує три можна скористатись delphi-програмою, яка реалізує методом Крамера:

Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Крамера засобами delphi

Приклад 2: розв’язати ситему рівнянь наступного вигляду:

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Для цього, знову-таки, для початку, знайдемо головний визначник системи:

Визначник , отже, ми можемо розв’язати задану систему методом Крамера.

Переходимо до обчислення допоміжних визначників:

Пісял цього, використовуючи формули (2) знаходимо розв’язок заданої системи:

Приклад 3: розв’язати систему рівнянь методом Крамера:

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Знаходимо головний визначник системи:

Визначник системи дорівнює нулю, отже, система лінійних рівнянь або має безліч розв’язків, або не має їх. Для уточнення обчислюємо визначники при невідомих:

Визначники при невідомих відмінні від нулю, отже, система несумісна, тобто не має розв’язків.

Приклад 4: при якому значенні параметра aсистема лінійних рівнянь, що міститься нижче, має безліч розв’язків?

Cистеми трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими

Отже, виходячи з того, що

Δ3 = 0

то дана система має безліч розв’язків при наступних умовах:

Δ = 0; Δ1 = 0; Δ2 = 0;

-6 * a + 6 = 0, a = 1; 6 * a - 6 = 0, a = 1; -12 * a + 12 = 0, a = 1

Отже, при a = 1, система має безліч розв’язків.

Зауваження: переглянувши розглянуті приклади бачимо, що метод Крамера, для системи лінійних рівнянь, представляє собою зручний спосіб знаходження тільки однієї з невідомих без необхідності розв’язувати всю систему рівнянь. Зазвичай, на практиці, метод Крамера не застосовується таким чином, але передбачається, що в цьому полягає основна суть методу: замість вирішення всієї системи рівнянь, метод Крамера можна використовувати для знаходження тільки однієї єдиної невідомої.

Приклад 5: для системи лінійних рівнянь, що міститься нижче, знайти значення невідомої x3.

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector