Mini-ats102.ru

ООО “Мультилайн”
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Метод дихотомии или метод половинного деления

Метод дихотомии или метод половинного деления

Метод дихотомии имеет свое название от древнегреческого слова , что в переводе означает деление надвое. Именно поэтому данные метод имеет еще второе название: метод половинного деления. Его мы используем довольно часто. Допустим, играя в игру «Угадай число», где один игрок загадывает число от 1 до 100, а другой пытается его отгадать, руководствуясь подсказками «больше» или «меньше». Логично предположить, что первым числом будет названо 50, а вторым в случае если оно меньше — 25, если больше — 75. Таким образом, на каждом этапе (иттерации) неопределенность неизвестного уменьшается в 2 раза. Т.е. даже самый невезучий в мире человек отгадает загаданное число в данном диапазоне за 7 предположений вместо 100 случайных утверждений.

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

  • Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
  • Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Читайте так же:
Как вводить массив в excel

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

  1. а:=левая граница b:= правая граница
  2. m:= (a+b)/2 середина
  3. определяем f(a) и f(m)
  4. если f(a)*f(m)
  5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

Читайте так же:
Лучшие надстройки для excel

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е — заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Доброго времени суток! Я решил разбавить наши стандартные статьи по программированию в VBA. Поэтому сегодня мы поговорим о численных методах решения нелинейных алгебраических уравнений, в целом и о каждом в отдельности.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Система уравнений.

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Матрицы.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

МОПРЕД.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

МОПРЕД1.

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).

Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Корни уравнений1.

Метод 3: делим столбец на столбец

Для того, чтобы произвести операцию деления для двух столбцов, можно использовать методы, описанные выше, но это займет массу времени. Эксель позволяет выполнить операцию значительно быстрее и эффективнее.

Деление чисел одного столбца на другой в Экселе

  1. Кликаем по первой ячейке столбца, в которой будет отображаться итоговый результат деления и вводим с клавиатуры “=”.
    • кликом левой кнопки мыши выбираем первую ячейку столбца с делимыми (после знака “=” появится ее адрес);
    • вводим слэш – “/”;
    • кликом левой кнопки мыши выбираем первую ячейку столбца с делителями – после знака “/” появится ее адрес.

Растягивание формулы деления на другие строки

  • наводим курсор в нижний правый угол ячейки с уже рассчитанным результатом деления (с формулой) до появления курсора в виде черного крестика – это и есть Маркер заполнения.
  • зажимаем левую кнопку мыши и растягиваем формулу вниз на все расположенные в столбце ячейки.

Примечание: Маркер заполнения копирует формулу из верхней ячейки во все нижние (или, наоборот, из нижней в верхние – в зависимости от направления растягивания формулы). При этом автоматически изменяются адреса ячеек (в нашем случае – порядковые номера строк), позволяя сохранять корректность ссылок и вычислений, так как адреса в формулах по умолчанию используются относительные. Инструмент, безусловно, очень удобен при работе с таблицами, содержащими большое количество строк.

Деление чисел

Предположим, что вы хотите узнать, сколько человеко-часов потребовалось для завершения проекта (общее время проекта ÷ всего людей в проекте) или фактический километр на лилон для вашего последнего меж страны(общее количество километров ÷ лилонов). Деление чисел можно разделить несколькими способами.

Деление чисел в ячейке

Для этого воспользуйтесь арифметическим оператором / (косая черта).

Например, если ввести =10/5 в ячейке, в ячейке отобразится 2.

Важно: Не забудьте ввести в ячейку знак равно(=)перед цифрами и оператором /. в противном случае Excel интерпретирует то, что вы введите, как дату. Например, если ввести 30.07.2010, Excel может отобразить в ячейке 30-июл. Если ввести 36.12.36, Excel сначала преобразует это значение в 01.12.1936 и отобразит в ячейке значение «1-дек».

Примечание: В Excel нет функции DIVIDE.

Деление чисел с помощью ссылок на ячейки

Вместо того чтобы вводить числа непосредственно в формулу, можно использовать ссылки на ячейки, такие как A2 и A3, для обозначения чисел, на которые нужно разделить или разделить числа.

Чтобы этот пример проще было понять, скопируйте его на пустой лист.

Копирование примера

Создайте пустую книгу или лист.

Выделите пример в разделе справки.

Примечание: Не выделяйте заголовки строк или столбцов.

Выделение примера в справке

Нажмите клавиши CTRL+C.

Выделите на листе ячейку A1 и нажмите клавиши CTRL+V.

Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, которые возвращают эти результаты, нажмите клавиши CTRL+’ (ударение) или на вкладке «Формулы» нажмите кнопку «Показать формулы».

Описание (результат)

Деление 15000 на 12 (1250).

Деление столбца чисел на константу

Предположим, вам нужно разделить каждую ячейку в столбце из семи чисел на число, которое содержится в другой ячейке. В этом примере число, на которые нужно разделить, составляет 3, содержалось в ячейке C2.

Метод секущих (метод хорд)

Если x , x1 — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие
f(a)f(b)
то последующие приближения находят по формуле
Метод хорд
Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка закреплен, т.е. вычисление приближения корня уравнения f(x) = 0 производят по формулам:
Метод секущих
Геометрическая интерпретация метода хорд:
Метод хорд
Реализация на C++
В отличие от двух рассмотренных выше методов, метод хорд предполагает наличие двух начальных приближений, представляющих собой концы отрезка, внутри которого располагается искомый корень.

Результат выполнения
Реализация метода хорд

Формулы координат середины отрезка

Деление отрезка пополам

Даже неподготовленные читатели могут помнить, как разделить отрезок пополам. Задача деления отрезка на две равные части – это частный случай деления отрезка в данном отношении. Двуручная пила работает самым демократичным образом, и каждому соседу за партой достаётся по одинаковой палке:

В этот торжественный час стучат барабаны, приветствуя знаменательную пропорцию . И общие формулы чудесным образом преображаются в нечто знакомое и простое:

Удобным моментом является тот факт, что координаты концов отрезка можно безболезненно переставить:

В общих формулах такой роскошный номер, как понимаете, не проходит. Да и здесь в нём нет особой надобности, так, приятная мелочь.

Для пространственного случая справедлива очевидная аналогия. Если даны концы отрезка , то координаты его середины выражаются формулами:

Параллелограмм задан координатами своих вершин . Найти точку пересечения его диагоналей.

Решение: Желающие могут выполнить чертёж. Граффити особенно рекомендую тем, кто капитально забыл школьный курс геометрии.

По известному свойству, диагонали параллелограмма своей точкой пересечения делятся пополам, поэтому задачу можно решить двумя способами.

Способ первый: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

Способ второй: Рассмотрим противоположные вершины . По формулам деления отрезка пополам найдём середину диагонали :

Ответ:

Пространственный отрезок для самостоятельного решения:

Даны точки . Найти середину отрезка .

Вычисления не самые простые получились, числа с ходу придумал. Решение в конце урока.

Как видите, задача деления отрезка пополам настолько прозрачна, что доступна и пятикласснику. На практике середину отрезка чаще всего находят, чтобы составить уравнение медианы треугольника. Но это уже тема другой статьи

Не вижу смысла открывать трёхлитровую банку примеров, поэтому заключительный аккорд урока – случай, когда известна середина отрезка и один из его концов:

Точка делит отрезок пополам. Найти точку , если известны точки

Решение: Используем формулы координат середины отрезка:

Нам неизвестны координаты . И снова можно вывести общую формулу для их нахождения, но гораздо легче сразу подставить числа. Только пропорциями верти:

Ответ:

Проверка выполняется даже устно: берём концы отрезка и находим его середину.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:
а) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:

Ответ:
б) . Используем формулы деления отрезка в данном отношении:

Ответ:

Пример 4: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:

Из условия следует, что .

Примечание: формулировка условия «отрезок в полтора раза короче отрезка » эквивалентна формулировке «отрезок в полтора раза длиннее отрезка », именно из этих соображений и составлена пропорция.

По условию , таким образом:

Ответ:

Пример 6: Решение: Используем формулы деления отрезка в данном отношении:

В данной задаче .
Таким образом:

Ответ:

Пример 8: Решение: Используем формулы координат середины отрезка:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector